PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Konsep persamaan dan fungsi kuadrat sering kitajumpai dalam kehidupan sehari - hari, diantaranya menentukan ukuran suatu bangun yang berbentuk segitiga, persegi atau persegi panjang apabila luas atau kelilingnya diketahui, dan menentukan keuntungan maksimum yang diperoleh seorang pedagang.
Permasalahan - permasalahan yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrata itu mempunyai karakteristik atau ciri tertentu. untuk lebih memahami tentang persamaan dan fungsi kuadrat, pelajarilah materi berikut ini dengan seksama !
A. PERSAMAAN KUADRAT
1. PENYELESAIAN
PERSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah 
, dimana 
dan a,b,c
.
Pembuat nol dari persamaan di atas merupakan penyelesaian
persamaan kuadrat. Himpunan dari penyelesaian di atas disebut Himpunan
Penyelesaian (HP). Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat sama dengan
menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Secara geometri, menentukan
penyelesaian persamaan kuadrat berarti menentukan titik-titik potong kurva 
dengan sumbu X.
Cara menentukan penyelesaian persamaan kuadrat ada 3 cara, yaitu :
1. memfaktorkan
2. melengkapkan
kuadrat sempurna
3. rumus
kuadrat (rumus abc)
1.1
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
Jika suatu persamaan kuadrat dapat diubah menjadi
bentuk AB = 0, maka penyelesaiannya adalah A = 0 atau B = 0. Langkah pertama
untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat
dengan pemfaktoran
yaitu dengan menentukan faktor dari perkalian ac yang jumlahnya adalah b,
misalnya faktornya p dan q. Sehingga perkalian luar dan perkalian dalam dari
koefisiennya besarnya p dan q. Perhatikan pola di bawah ini :
Perkalian dalam
(…x + …)(…x + …) = 0
Perkalian luar
Contoh
1: Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 
Jawab : 
(x - ….)(x + ….) = 0
Jadi HP:{….,…..}
Contoh
2: Tentukan penyelesaian dari 
Jawab : (…...-……)(……+……) = 0
LATIHAN
SOAL
Tentukan
HPnya dengan menggunakan cara pemfaktoran !
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
1.2
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat
sempurna
Yaitu dengan mengubah persamaan menjadi bentuk 
sehingga
penyelesaiannya 
. Pertama, usahakan menjadi bentuk 
. Kemudian menjadikan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat
sempurna, yaitu dengan menambahkan kedua ruas dengan 
.
Contoh
3: Tentukan HP dari dengan melengkapkan
kuadrat sempurna
Jawab : …. = …..
………………………….
Jadi HP : {……,…….}
Contoh
4: Tentukan HP dari dengan melengkapkan
kuadrat sempurna
………………………………..
Jadi HP:{ …. }
LATIHAN
SOAL
Tentukan
HPnya dengan melengkapkan kuadrat sempurna, dari :
1. 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.
6.
7.
8.
9.
10.
1.3
Penyelesaian Persamaan Kuadrat Dengan Rumus Kuadrat (Rumus
abc)
…. = …
…. + ….
= …. + ….
… + … = …
x = …
Sehingga : 
dimana 
disebut dengan
diskriminan (D)
Jadi D =
Rumus di atas dikenal dengan nama rumus kuadrat
atau sering dikenal dengan rumus abc.
Contoh
5: Tentukan HP dari dengan menggunakan
rumus kuadrat
Jawab : a = …
, b = …. , c = ….
= …
= …
Jadi HP:{ …. }
Contoh
6: Tentukan HP dari 
dengan menggunakan
rumus kuadrat
Jawab : a = … , b= …. , c = ….
= …
Jadi HP:{ …. }
LATIHAN
SOAL
Tentukan
HPnya dengan menggunakan rumus kuadrat (abc) dari :
1. 11.
2. 12.
3. 13.
4. 14.
5. 15.
6.
7. 
8.
9.
10. 
2. JENIS-JENIS AKAR
PERSAMAAN KUADRAT
Jenis-jenis akar persamaan kuadrat :
-
Jika D < 0 maka akar-akarnya
imajiner/ireal/tidak nyata
-
Jika D = 0 maka akar-akarnya real dan sama
(akar kembar)
-
Jika D > 0 maka akar-akarnya real dan
berlainan
Jika D > 0 dan 
merupakan bentuk akar,
maka akar-akarnya irasional dan berlainan
Jika D > 0 dan bukan bentuk akar,
maka akar-akarnya rasional dan berlainan
Harga a pada menentukan kurva
parabola menghadap ke atas atau ke bawah.
- Jika a < 0 maka parabola
menghadap ke bawah
- Jika a > 0 maka parabola menghadap ke atas
Definit negatif dan definit positif
- Jika a < 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu
menghasilkan nilai 
yang negatif (definit
negatif)
- Jika a > 0 dan D < 0 maka berapapun nilai x selalu
menghasilkan yang positif (definit
positif)
Perhatikan
gambar berikut :
Definit positif
a >0
D <0 a > 0 a >0
D=0 D >0
Sb X
a
< 0 a < 0
D > 0 D =
0 a < 0
D
< 0
Definit negatif
Contoh
1: Tentukan jenis akar-akar dari 
Jawab : D = … = …
Karena D … 0 maka akar-akarnya …
Contoh
2: Tentukan nilai n agar persamaan 
mempunyai akar kembar
!
Jawab :
Syarat akar kembar, yaitu D …. 0
… = 0
… = 0
… = 0
(
… )( …
) = 0
n = …
atau n = …
LATIHAN
SOAL
1. Tentukan
jenis-jenis akar persamaan berikut :
a. 
d.
b. 
e.
c. 
2. Tentukan
n, agar persamaan berikut mempunyai akar kembar !
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
3. JUMLAH DAN HASIL
KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Sehingga jika dijumlahkan dan dikalikan
akar-akarnya akan mendapatkan rumus :
Contoh
1: Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar :
a. 
b.
Jawab : a.
a = … , b = … , dan c = …
= …..
b.
a = … , b = …. dan c = ….
= …..
Contoh 2: Jika 
dan 
akar-akar 
maka tentukan nilai :
Jawab : 
= …..
a. 
= 
b. 
= 
c. 
= 
d. 
= 
LATIHAN
SOAL
1.
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar
dari :
a. b.
2. Jika dan akar-akar persamaan 
, maka tentukan harga :
3. Tentukan
n agar 
hasil kali akar-akarnya
1 atau akar-akarnya saling berkebalikan.
4. Tentukan
n agar 
akar-akarnya
berlawanan tanda.
5. Tentukan
n agar 
hasil kali
akar-akarnya 5.
4. MENYUSUN
PERSAMAAN KUADRAT
4.1 Persamaan Kuadrat
Yang Akar-akarnya dan .
Digunakan rumus sebagai berikut :
Contoh
1: Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan –3
Jawab : Cara I
: 
Cara II : 
4.2
Persamaan Kuadrat Yang Akar-akarnya Berhubungan Dengan
Akar-akar Persamaan Kuadrat Lainnya
Misal dan akar-akar dari , sedangkan 
akar-akar persamaan
kuadrat baru, dimana 
, maka cara menentukan persamaan kuadrat baru itu ada 2 cara,
yaitu :
1. Cara
I : Substitusi y = kx atau 
ke , lalu ganti y dengan x
2. Cara
II: dengan menggunakan rumus :
Contoh
2: Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kali akar-akar 
Jawab : Cara I
: y = 2x maka x = ….
Substitusi x = …. ke
…. = 0
…. = 0
Ganti y dengan x, maka
diperoleh : ….
Cara II: 
….
….
LATIHAN
SOAL
1.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang
akar-akarnya :
a. 3 dan
4 c. 5 dan –1/2
b. 2 dan
–7 d. –3/2 dan 4/5
2. Tentukan
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali akar-akar 
3. Tentukan
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 1/2 kali akar-akar
4. Tentukan
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar 
5. Tentukan
persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya kebalikan akar-akar 
B. PERTIDAKSAMAAN
KUADRAT
Pertidaksamaan kuadrat diselesaikan dengan bantuan
garis bilangan, yaitu dengan menguji pada masing-masing daerah pada garis
bilangan dengan mencantumkan akar-akar persamaan kuadrat. Tentukan
penyelesaiannya sesuai dengan soal dan tanda “+” atau “-“ pada garis bilangan.
Contoh
1: Tentukan HP dari :
Jawab : a. 
… … …
… …
HP:{x/ … }
b. 
… … …
… …
HP:{x/ … }
c. 
… … …
… …
HP:{x/ … }
LATIHAN
SOAL
1.
Tentukan HPnya dari pertidaksamaan :
a. 
e.
b. 
f.
c. 
g.
d. 
2. Tentukan
n agar 
akar-akarnya imajiner
3. Tentukan
n agar 
akar-akarnya real dan berlainan
4. Tentukan
interval x sehingga f(x) = 
berada di atas sumbu X
5. Tentukan
interval x sehingga f(x) = 
berada di atas sumbu X
C. FUNGSI KUADRAT
1. MELUKIS
PARABOLA
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = 
.
Kurvanya berupa Parabola.
Cara melukis sketsa Parabola, yaitu :
1. Tentukan
titik-titik potong dengan sumbu koordinat
a. Dengan sumbu X syarat y = 0
b. Dengan sumbu Y syarat x = 0
2. Tentukan
Titik Puncak dengan rumus TP: 
3. Jika a >
0, maka parabola menghadap ke atas
Jika a < 0, maka parabola menghadap ke
bawah
4. Gunakan
beberapa buah titik bantu jika perlu
5. Lukis
kurvanya dengan menghubungkan titik-titik
yang sudah diketahui
Contoh
1: Lukis parabola berikut :
a. 
b.
Jawab : a.
-
Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0, maka :
= ….
….
-
Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0,
maka :
y = …
-
Titik Puncak : = ….
-
Karena a = … , maka parabola menghadap ke …
-
Beberapa titik bantu :
X
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
Y
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
-
Gambar kurvanya :
Y
0
X
b.
- Titik potong dengan sumbu X syarat y = 0,
maka :
= ….
….
-
Titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0,
maka :
y = …
-
Titik Puncak : = ….
-
Karena a = … , maka parabola menghadap ke …
-
Beberapa titik bantu :
X
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
Y
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
-
Gambar kurvanya :
Y
0
X
LATIHAN SOAL
1.
Tentukan koordinat titik puncaknya dari :
a. 
c.
b. 
d.
2.
Lukislah sketsa parabola berikut ini :
a. 
e.
b. 
f. 
c. 
g.
d. 
h.
2. MASALAH-MASALAH
OPTIMUM
Jika suatu persoalan yang ada pada
sehari-hari dapat dinyatakan dengan fungsi kuadrat, maka tentulah ada batas
tertinggi atau terendahnya, karena kurvanya berupa parabola. Maka nilai optimum
(maksimum/minimum) dari persoalan tersebut dapat ditentukan dengan nilai y pada koordinat titik puncak, yaitu 
Contoh
1: Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimumnya !
Jawab : K
= 2(p + l)
24 = 2(p + l) maka p + l =
… sehingga p = …
L = p.l
Substitusi p = … ke L = p.l, maka :
L = …
= … merupakan fungsi
kuadrat.
L maks = = ….
Contoh
2: Dua bilangan jumlahnya 10. Tentukan kedua bilangan itu, agar hasil kalinya
maksimum
Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x
+ y = … atau x = …
Misal hasil kali x dan y
dinyatakan dengan z, maka z = xy.
Substitusi x = … ke z = xy sehingga :
z = …
= … merupakan fungsi
kuadrat
z maks = = …
Karena x + y = … dan xy = … maka x = … dan y = …
LATIHAN SOAL
1.
Suatu persegi panjang kelilingnya 100 cm.
Tentukan luas maksimumnya
2.
Dua bilangan jumlahnya 16. Tentukan kedua
bilangan itu agar hasil kalinya maksimum
3.
Dua bilangan selisihnya 6. Tentukan kedua
bilangan itu agar hasil kalinya minimum
4.
Persamaan gerak bola yang dilempar ke atas
yaitu 
. S(t) merupakan jarak yang ditempuh setelah waktu t. S(t)
dalam satuan meter dan t dalam satuan detik. Tentukan :
a. tinggi
maksimum yang dapat dicapai bola
b. saat bola
mencapai tinggi maksimum
c. saat bola
mencapai tanah
5.
Suatu kolam renang akan dikeringkan. Jika
hubungan antara air di kolam dengan waktu adalah 
. V(t) yaitu isi air dalam kolam renang setiap waktunya (
) dan t yaitu waktu dalam satuan menit. Kapan isi air kolam
itu minimum dan tentukan isi minimumnya !
